Треугольник

Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник.

Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. Сумма углов треугольника.

Внешний  угол треугольника. Признаки равенства треугольников.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,

биссектрисы, срединныe перпендикуляры, ортоцентр,

центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга.

Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

остроугольный треугольник. Если один из углов прямой ( C, Fig.21 ), то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона  c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой ( B, Fig.22 ), то это тупоугольный треугольник.

Треугольник ABC ( рис.23 ) - равнобедренный, если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC ( рис.24 ) – равносторонний, если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a b c ) мы имеем неравносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике: 

1.  Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2.  Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

     В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3.  Сумма углов треугольника равна 180 º .

     Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем

     треугольнике равен 60 º.

4.  Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний

     угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,

     не смежных с ним:  BCD = A + B.

 5.  Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

      их разности ( a < b + c,  a > b – c;  b < a + c,  b > a – c;  c < a + b,  c > a – b ).

Признаки равенства треугольников.  

Треугольники равны, если у них соответственно равны:

          a)  две стороны и угол между ними;

   b)  два угла и прилегающая к ним сторона;

   c)  три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников. 

Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1)  равны их катеты;

2)  катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

3)  гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4)  катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5)  катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Замечательные линии и точки в треугольнике.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O, рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O, рис.27 ) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD, BE, CF, рис.28 ) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, на  рис.29  AE : CE = AB : BC .

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO, MO, NO, рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC ).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами  a, b и гипотенузой c.

Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF, сторона которого равна  a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) ². С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, то есть

c ² + 4 ( ab / 2 ) = c ² + 2 ab ,

отсюда, 

c ² + 2 ab = ( a + b ) ² ,

и окончательно имеем:

c ² =  a ² + b ² .

Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

В общем случае ( для произвольного треугольника ) имеем:

c ² = a ² + b ² – 2ab · cos C,

где C – угол между сторонами  a  и  b .