Площади плоских фигур
Площади плоских фигур: квадрат, прямоугольник, ромб,
параллелограмм, трапеция,
четырёхугольник,
прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник,
равносторонний треугольник, произвольный треугольник,
многоугольник, правильный шестиугольник,
круг,
сектор, сегмент круга. Формула Герона.
Произвольный треугольник. a, b,
c – стороны; a
– основание; h –
высота;
A,
B,
C
– углы, противоположные сторонам
a,
b,
c
; p = (
a +
b
+ c
) / 2.
Последнее выражение называется формулой Герона.
Многоугольник, площадь которого
нужно определить, может быть разделён своими диагоналями на несколько
треугольников. Многоугольник, описанный около круга (
рис.67
), может быть разделён прямыми, идущими
из центра круга к его вершинам. Тогда получаем:
В частности, эта формула справедлива для любого правильного
многоугольника.
Правильный
шестиугольник. a –
сторона.
Круг.
D – диаметр;
r – радиус.
Сектор ( рис.68 ). r
– радиус; n – величина центрального угла в
градусах; l
–
длина дуги.
Сегмент ( рис.68 ). Площадь
сегмента определяется как разность между площадями
сектора AmBO и треугольника AOB.
Кроме того, есть приближённая формула для площади сегмента:
где
a
=
AB
( рис.68 ) – основание сегмента;
h
– его высота (
h
= r
– OD
). Относительная погрешность этой формулы: при
AmB
= 60°
– около 1.5% ; при AmB = 30°
-
~ 0.3%.
П р и м е р . Вычислить площади
сектора AmBO
( рис.68 ) и сегмента AmB
при
следующих данных: r
= 10 см,
n
= 60°.
Р е
ш е н и е . Площадь сектора:
Площадь правильного треугольника
AOB:
Отсюда, площадь сегмента:
S = S1
– S2
= 52.36 – 43.30 = 9.06 см
2 .
Заметим, что в правильном треугольнике
AOB:
AB = AO
= BO = r, AD
= BD = r / 2 , и поэтому
высота OD
в
соответствии с теоремой Пифагора равна:
Тогда,
по приближённой формуле получим:
| 
