Линейный
двучлен. Теорема Безу.
Линейный двучлен
есть многочлен первой степени: a x
+ b.
Если разделить многочлен, содержащий
букву x
, на линейный двучлен
x
–
b,
где b
– некоторое число (положительное или
отрицательное), то остаток будет
только многочленом нулевой степени (см.
параграф “Деление многочленов”),
т.е. некоторым числом N
, которое можно определить, не находя частного. Более точно, это число равно
значению многочлена, получаемому при
x =
b.
Это свойство вытекает из
теоремы Безу:
многочлен a0 xm
+ a1
xm-1
+
a2
xm-2
+ …+ am делится на двучлен x
– b
с остатком N =
a0 bm
+ a1
bm-1
+
a2
bm-2
+ …+ bm
.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В соответствии с определением
операции деления многочленов (см. параграф “Деление многочленов”) мы имеем:
a0
xm + a1 xm-1
+ a2 xm-2
+ …+ am = ( x – b )
Q + N ,
где
Q
– некоторый многочлен, N
– некоторое число.
Подставим x
= b
, тогда слагаемое (
x
– b
)
Q
обращается в нуль, и мы
получаем:
a0
bm + a1 bm-1
+ a2 bm-2
+ …+ am = N .
З а м е ч а н и е . При
N
= 0 число
b
является корнем уравнения:
a0
xm + a1 xm-1
+ a2 xm-2
+ …+ am = 0 .
Теорема доказана.
| 
